Анри Тексье родился в Париже 27 января 1945 года. Этот выдающийся французский басист в течение всей своей карьеры делал упор в первую очередь на работу с собственным коллективом, что довольно сильно отличает его от многих музыкантов-аккомпаниаторов, стремящихся ради зарабатывания известности примыкать к ансамблям популярных солистов.
Тексье начал играть на фортепиано в 12 лет. В пятнадцатилетнем возрасте он уже выступал в ночных клубах, исполняя джазовую программу, но вскоре переключился на контрабас и был принят в малоизвестный сегодня оркестр Джефа Гилсона. В этом коллективе Тексье познакомился в барабанщиком Даниэлем Юмэ, и вдвоем они составили одну из сильнейших ритм-секций, которые существовали во Франции в шестидесятых годах. Неудивительно, что эта пара быстро заработала себе репутацию и стала сопровождать приезжих американских звезд, среди которых были такие корифеи как Бад Пауэлл (Bud Powell), Дэкстер Гордон (Dexter Gordon), Кенни Кларк (Kenny Clarke), Джонни Гриффин (Johnny Griffin). Выучившись мастерству у классиков жанра, он сменил американских партнеров на европейских, сотрудничал с Даниэлем Хумаром (Daniel Humair), Мишелем Порталем (Michel Portal), Бернаром Люба (Bernard Lubat). Сегодня он продолжает музыкальный поиск, предлагая свое фирменное звучание и талант мелодиста молодым и горячим импровизаторам, играющим acid jazz, джаз-рок и даже техно; лидерам «новой джазовой волны».
В 1968 году к ритм-секции присоединился пианист Марсьял Солаль, и новообразованное трио сделало несколько великолепных записей, в которых им помогал отдыхавший тогда во Франции саксофонист Ли Конитц. В том же 1968 году Тексье основал коллектив European Rhythm Machine, в которой работал знаменитый Джордж Грунтц.
В семидесятых Тексье посвятил много времени изучению новых инструментов: среди них виолончель, флейта, арабский уд, разнообразные типы перкуссионных; занимался он и постановкой вокала. Его исполнительская деятельность в этот период в основном связана с кларнетистом Луи Склави и барабанщиком Альдо Романо.
В 1986 году Тексье подписал контракт со знаменитой французской фирмой грамзаписи Label Bleu, которая выпускает ныне практически все его работы. Вскоре к его составу присоединился его сын, исполнитель на духовых Себастьен Тексье. В музыке группы начали все отчетливее появляться североафриканские мотивы, а одно время Тексье со своим трио даже гастролировал по Франции, сопровождая музыкой показ практически немого алжирского фильма «Remparts d’Argile».
Он пишет музыку для балета, театра, кино (музыка к фильму «La Classe de Neige» была номинирована на престижную премию «Victoires de la Musique»).
Манера игры Тексье на контрабасе основана в значительной степени на грубой «физике», хотя иногда звук его инструмента сравнивают даже со звуков колоколов. Американские слушатели знают этого музыканта в первую очередь как исполнителя музыки на стыке хард-бопа и свободного джаза, хотя французская аудитория считает его скорее основателем самостоятельного, отчетливо французского стиля. Ломая традиционные представления о джазе, он всякий раз добивается успеха. В 2001 году французское правительство вручило ему Chevalier of the l'Ordre National de la Légion d'Honneur – наивысшую награду для артистов во Франции.